萧衡是梁武帝萧衍之裔，高祖父南海王萧珣是梁明帝萧岿之子，梁靖帝萧琮之弟，隋愍萧皇后和宋国公萧瑀之兄。
曾祖父萧钧为唐朝太子率更令、中书舍人、弘文集贤两馆学士，祖父萧灌为渝州长史追赠吏部尚书。父亲萧嵩是唐玄宗时期宰相，兄长萧华是唐肃宗时期宰相。
萧衡尚唐玄宗之女新昌公主，被授官太仆卿、拜驸马都尉。
天宝六载（747年），新昌公主因为驸马萧衡去世，上奏请剃度为女冠。于是，唐玄宗便在长安城内的崇业坊中为新昌公主建立新昌观。
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